Xúc xắc không bắc cầu là bộ xúc xắc trong đó con A thắng con B, B thắng C, C thắng D, nhưng D lại thắng A, mỗi cặp với xác suất cao hơn một nửa. Bộ nổi tiếng nhất do nhà thống kê Bradley Efron ở Đại học Stanford nghĩ ra, gồm bốn con xúc xắc với các mặt được đánh số đặc biệt, mỗi con thắng con kế tiếp với xác suất đúng 2/3. Hệ quả là không có con nào "mạnh nhất": ai chọn sau luôn có lợi.
"Bắc cầu" là gì và vì sao ta mặc định nó
Trong toán học, một quan hệ gọi là có tính bắc cầu nếu A hơn B và B hơn C thì A hơn C. Chiều cao, cân nặng, số tiền đều bắc cầu: An cao hơn Bình, Bình cao hơn Chi thì An chắc chắn cao hơn Chi. Ta quen với điều này tới mức coi nó là lẽ thường, và khi nói "đội này mạnh hơn đội kia" ta ngầm tưởng sức mạnh cũng là một con số xếp được hàng.
Búa – kéo – bao là ví dụ đơn giản nhất của quan hệ không bắc cầu, nhưng ở đó luật chơi được đặt ra cố ý cho vòng tròn. Điều làm xúc xắc Efron gây sửng sốt là chúng trông như xúc xắc bình thường, kết quả hoàn toàn do may rủi, vậy mà vòng khắc chế vẫn tự hiện ra từ những con số.
Bộ bốn xúc xắc của Efron
Bộ xúc xắc được Martin Gardner giới thiệu tới đông đảo độc giả trong chuyên mục toán giải trí của tạp chí Scientific American năm 1970. Mỗi con có sáu mặt như thường, chỉ khác ở số ghi trên mặt:
| Xúc xắc | Sáu mặt | Giá trị trung bình |
|---|---|---|
| A | 4, 4, 4, 4, 0, 0 | 2,67 |
| B | 3, 3, 3, 3, 3, 3 | 3 |
| C | 6, 6, 2, 2, 2, 2 | 3,33 |
| D | 5, 5, 5, 1, 1, 1 | 3 |
Luật so: hai người mỗi người cầm một con, cùng tung, số lớn hơn thắng. Với bộ này không bao giờ hoà, vì hai con khác nhau không có số chung.
Tự tính bốn xác suất
Mỗi phép tính dưới đây chỉ cần chia trường hợp theo con xúc xắc "lắm biến" hơn. Bạn có thể kiểm bằng cách kẻ bảng 6 × 6 với 36 ô và đếm.
A thắng B: 2/3
B luôn ra 3. A thắng khi ra 4, xảy ra ở 4 trên 6 mặt. Xác suất 4/6 = 2/3.
B thắng C: 2/3
C ra 6 ở 2 mặt (thắng B), ra 2 ở 4 mặt (thua B). B thắng với xác suất 4/6 = 2/3.
C thắng D: 2/3
Nếu C ra 6 (xác suất 1/3), C thắng chắc vì D cao nhất là 5. Nếu C ra 2 (xác suất 2/3), C chỉ thắng khi D ra 1, xác suất 1/2. Tổng: 1/3 + 2/3 × 1/2 = 1/3 + 1/3 = 2/3.
D thắng A: 2/3
Nếu D ra 5 (xác suất 1/2), D thắng chắc vì A cao nhất là 4. Nếu D ra 1 (xác suất 1/2), D chỉ thắng khi A ra 0, xác suất 1/3. Tổng: 1/2 + 1/2 × 1/3 = 1/2 + 1/6 = 2/3.
Vậy A thắng B, B thắng C, C thắng D, D thắng A, mỗi cặp đều 2/3. Một vòng khắc chế hoàn hảo. Hai cặp "chéo" thì khác: C thắng A với xác suất 5/9, còn B và D ngang nhau đúng 1/2. Các con số trên đã được kiểm lại bằng cách liệt kê đủ 36 trường hợp cho mỗi cặp.
Giá trị trung bình đánh lừa ta
Nhìn bảng, C có trung bình cao nhất (3,33), A thấp nhất (2,67). Trực giác bảo chọn C. Nhưng C thua B tới 2/3 số lần, dù B có trung bình thấp hơn. Lý do: thắng hay thua chỉ phụ thuộc số nào lớn hơn, chứ không phụ thuộc lớn hơn bao nhiêu. C có hai mặt 6 thắng rất "đậm" nhưng phí, vì thắng 6 – 3 cũng chỉ là một lần thắng như thắng 4 – 3. Còn bốn mặt 2 thì thua đều đặn.
Đây là bài học đáng mang về: trong một cuộc so tài một chọi một, "mạnh trung bình" và "hay thắng" là hai thứ khác nhau. Một lối đánh có thể rất mạnh trên giấy mà vẫn thua đều trước một kiểu đối thủ cụ thể.
Bộ ba xúc xắc đơn giản hơn để tự làm
Muốn tự làm ở nhà, có một bộ ba xúc xắc dễ hơn, dùng các số từ 1 tới 9, mỗi số ghi lên hai mặt:
- Xúc xắc X: 2, 4, 9 (mỗi số hai mặt)
- Xúc xắc Y: 1, 6, 8
- Xúc xắc Z: 3, 5, 7
Cả ba con có tổng các mặt bằng nhau và cùng trung bình 5. Kẻ bảng 3 × 3 cho mỗi cặp: X thắng Y ở 5 trên 9 ô, Y thắng Z ở 5 trên 9 ô, và Z thắng X ở 5 trên 9 ô. Vòng khắc chế yếu hơn bộ Efron (5/9 so với 2/3) nhưng đủ để thấy rõ sau vài chục lượt tung. Cách làm: mua xúc xắc trắng chưa in số hoặc dán giấy lên xúc xắc cũ.
Người chọn sau luôn có lợi
Với bộ Efron, chiến thuật rất đơn giản: để đối phương chọn trước, rồi chọn con thắng con của họ. Họ chọn A, bạn chọn D; họ chọn B, bạn chọn A; và cứ thế. Mỗi lượt bạn thắng với xác suất 2/3. Nếu so nhiều lượt, ưu thế càng rõ. Tính theo phân phối nhị thức với xác suất 2/3 mỗi lượt:
| Số lượt tung | Xác suất người chọn sau thắng đa số |
|---|---|
| 1 | khoảng 67% |
| 5 | khoảng 79% |
| 11 | khoảng 88% |
| 21 | khoảng 94% |
Có một giai thoại hay được kể rằng nhà đầu tư Warren Buffett từng mời Bill Gates so xúc xắc kiểu này, và Gates nhận ra mánh khoé, mời Buffett chọn trước. Câu chuyện xuất hiện nhiều nơi nhưng khó tìm nguồn gốc chắc chắn, nên nên coi là giai thoại.
Tung hai con thì sao: vòng có thể đảo
Một điều bất ngờ nữa: nếu mỗi người tung hai con xúc xắc cùng loại và so tổng, quan hệ có thể đổi chiều. Với bộ Efron, tự tính lại bằng cách liệt kê đủ trường hợp, ta được:
- A với B: tung một con thì A thắng 2/3; tung hai con thì B thắng 5/9. Đảo chiều.
- B với C: tung một con thì B thắng 2/3; tung hai con thì C thắng 5/9. Đảo chiều.
- C với D: tung hai con C vẫn thắng, xác suất 5/9.
- D với A: tung hai con D vẫn thắng, xác suất 5/9.
Như vậy với hai con, bộ Efron không còn là một vòng: C thắng cả B lẫn D. Có những bộ xúc xắc khác được thiết kế riêng để cả vòng đảo chiều hoàn toàn khi tung đôi. Bài học: "thứ tự sức mạnh" không chỉ có thể đi vòng, mà còn đổi theo luật so.
Từ xúc xắc tới bỏ phiếu và tự nhiên
Xúc xắc Efron có họ hàng gần là nghịch lý Condorcet, do Hầu tước Condorcet nêu trong một tiểu luận năm 1785 về bỏ phiếu. Ba người bầu: người thứ nhất thích X hơn Y hơn Z, người thứ hai thích Y hơn Z hơn X, người thứ ba thích Z hơn X hơn Y. Đếm theo đa số từng cặp thì X thắng Y, Y thắng Z, Z thắng X. Tập thể có thể "thích" theo vòng tròn dù mỗi người đều xếp hạng rất mạch lạc.
Ngoài toán học, vòng khắc chế có thật trong tự nhiên: ba kiểu thằn lằn đực ở California, ba chủng vi khuẩn E. coli trên đĩa thạch. Các bài khác trong danh mục này kể chi tiết. Ngũ hành tương khắc của người Trung Hoa cổ cũng là một vòng không bắc cầu năm thành phần, dù không dựa trên xác suất.
Góc nhìn hôm nay
Xúc xắc không bắc cầu là công cụ dạy xác suất rất tốt vì nó phá một trực giác sai một cách cụ thể, sờ được. Một tiết học có thể bắt đầu bằng việc cho học sinh tự chọn xúc xắc, tung vài chục lượt, ghi kết quả, rồi mới kẻ bảng 36 ô để giải thích.
Với người thích xây bộ bài, ý tưởng này còn quen thuộc theo cách khác: khi các lối đánh khắc nhau theo vòng, không có bộ bài nào thắng tất cả, và lợi thế thuộc về người đoán đúng đối thủ sẽ dùng gì. Muốn đọc tiếp, các tuyển tập chuyên mục của Martin Gardner đã được in thành sách và vẫn là cửa ngõ dễ chịu nhất vào toán giải trí.
Câu hỏi thường gặp
Xúc xắc Efron là gì?
Đó là bộ bốn xúc xắc do nhà thống kê Bradley Efron nghĩ ra, với các mặt 4-4-4-4-0-0, 3-3-3-3-3-3, 6-6-2-2-2-2 và 5-5-5-1-1-1. Mỗi con thắng con kế tiếp với xác suất 2/3, và con cuối thắng con đầu, tạo thành vòng khắc chế.
Vì sao xúc xắc lại không bắc cầu được?
Vì thắng thua chỉ phụ thuộc số nào lớn hơn chứ không phụ thuộc lớn hơn bao nhiêu. Các mặt được sắp sao cho mỗi con thắng thường xuyên trước một con cụ thể, dù có thể có trung bình thấp hơn. Không có quy luật nào buộc quan hệ "thường thắng" phải xếp hàng được.
Chơi xúc xắc Efron thế nào để có lợi?
Để đối phương chọn trước, rồi chọn con xúc xắc thắng con của họ. Mỗi lượt tung bạn có xác suất thắng 2/3; so 11 lượt thì xác suất bạn thắng đa số vào khoảng 88%.
Có thể tự làm xúc xắc không bắc cầu không?
Có. Bộ đơn giản nhất dùng ba xúc xắc với các mặt 2-4-9, 1-6-8 và 3-5-7, mỗi số ghi hai lần. Mỗi con thắng con kế tiếp với xác suất 5/9, và cả ba có cùng trung bình 5.
Xúc xắc không bắc cầu liên quan gì tới búa kéo bao?
Cả hai đều là quan hệ khắc chế theo vòng, không có lựa chọn nào mạnh nhất. Khác biệt là búa – kéo – bao thắng thua chắc chắn theo luật, còn xúc xắc không bắc cầu chỉ thắng với xác suất cao hơn một nửa, nên vòng tròn hiện ra từ may rủi.
