Lật lần lượt một bộ bài 52 lá đã xáo kỹ, trung bình bạn sẽ gặp lá Át đầu tiên ở lá thứ 10,6. Công thức tổng quát rất gọn: bộ bài N lá có K lá đặc biệt thì vị trí trung bình của lá đặc biệt đầu tiên là (N + 1) / (K + 1). Điều bất ngờ là dù trung bình hơn 10, vị trí có khả năng nhất lại chính là lá đầu tiên.
Lời giải bằng một ý tưởng đẹp: bốn lá Át chia năm khe
Không cần tính tổng dài dòng. Hãy nhìn bộ bài như 48 lá thường được bốn lá Át chia thành năm khe: trước Át thứ nhất, giữa Át thứ nhất và thứ hai, giữa thứ hai và thứ ba, giữa thứ ba và thứ tư, và sau Át thứ tư. Vì bộ bài xáo ngẫu nhiên, không có lý do gì khe này phải dài hơn khe kia. Năm khe có độ dài trung bình như nhau, và tổng độ dài là 48. Vậy mỗi khe trung bình có 48 / 5 = 9,6 lá thường.
Lá Át đầu tiên nằm ngay sau khe thứ nhất, nên vị trí trung bình của nó là 9,6 + 1 = 10,6. Đổi chữ thành ký hiệu: khe trung bình có (N − K) / (K + 1) lá, cộng 1 được (N + 1) / (K + 1). Thay N = 52, K = 4 ra 53 / 5 = 10,6.
Lập luận "khe đều nhau" này còn cho ngay vị trí trung bình của các lá Át sau: Át thứ hai ở khoảng lá thứ 21,2, Át thứ ba ở 31,8, Át cuối cùng ở 42,4. Bốn lá Át, trung bình, rải đều cách nhau 10,6 lá.
Kiểm tay với bộ bài nhỏ
Lấy 6 lá, trong đó có 2 lá Át. Có C(6, 2) = 15 cách đặt hai lá Át vào sáu vị trí. Đếm xem Át đầu tiên rơi vào đâu:
- Vị trí 1: Át kia ở 2, 3, 4, 5 hoặc 6, tức 5 cách.
- Vị trí 2: Át kia ở 3, 4, 5 hoặc 6, tức 4 cách.
- Vị trí 3: 3 cách. Vị trí 4: 2 cách. Vị trí 5: 1 cách.
Trung bình bằng (1 × 5 + 2 × 4 + 3 × 3 + 4 × 2 + 5 × 1) / 15 = 35 / 15 ≈ 2,33. Công thức cho (6 + 1) / (2 + 1) = 7/3 ≈ 2,33. Khớp. Cũng thấy ngay vị trí 1 có nhiều cách nhất.
Phân phối đầy đủ cho bộ 52 lá
Xác suất Át đầu tiên nằm đúng ở lá thứ k bằng C(52 − k, 3) chia cho C(52, 4): ba lá Át còn lại phải nằm đâu đó trong 52 − k lá phía sau. Tính ra:
| Lá thứ k | Xác suất Át đầu tiên đúng ở lá này | Xác suất đã gặp Át trong k lá đầu |
|---|---|---|
| 1 | 7,69% | 7,7% |
| 2 | 7,24% | 14,9% |
| 3 | 6,81% | 21,7% |
| 5 | 5,99% | 34,1% |
| 8 | 4,89% | 49,9% |
| 9 | 4,56% | 54,4% |
| 10 | 4,24% | 58,7% |
| 13 | 3,38% | 69,6% |
| 20 | 1,83% | 86,7% |
| 26 | 0,96% | 94,5% |
| 30 | 0,57% | 97,3% |
| 40 | 0,08% | 99,8% |
Lá muộn nhất có thể là lá thứ 49, khi cả bốn lá Át nằm dồn ở cuối. Xác suất đó là 1 trên 270 725.
Ba con số "trung tâm" khác nhau
Bảng trên cho thấy một điều mà người học xác suất hay nhầm: trung bình, trung vị và giá trị thường gặp nhất là ba thứ khác nhau.
- Giá trị có xác suất cao nhất (yếu vị): lá thứ 1, với 7,69% (đúng bằng 4/52). Mỗi vị trí sau lại kém hơn một chút, vì muốn Át đầu tiên ở xa thì mọi lá trước nó đều phải không là Át.
- Trung vị: lá thứ 9. Tới lá thứ 8, xác suất đã gặp Át mới là 49,9%, chưa tới một nửa; tới lá thứ 9 thì vượt, 54,4%.
- Trung bình: 10,6. Cao hơn trung vị vì phân phối có "đuôi dài" phía bên phải: thỉnh thoảng phải lật tới lá 25, 30 mới gặp, và những lần đó kéo trung bình lên.
Độ lệch chuẩn cũng lớn, khoảng 8,2 lá. Nói cách khác, chuyện lật 2 lá đã gặp Át hay lật 20 lá mới gặp đều hết sức bình thường. Ai từng thấy "hôm nay bài xấu, lật mãi không ra Át" thì nên nhớ: có tới 13,3% khả năng 20 lá đầu không có lá Át nào.
Đổi lá đặc biệt, đổi kết quả
Công thức (N + 1) / (K + 1) dùng được cho mọi nhóm lá, chỉ cần thay K:
| Đang chờ lá gì | K | Vị trí trung bình của lá đầu tiên |
|---|---|---|
| Một lá cụ thể (ví dụ Át bích) | 1 | 26,5 |
| Một lá Át bất kỳ | 4 | 10,6 |
| Một lá Át hoặc K | 8 | khoảng 5,9 |
| Một lá hình J, Q, K | 12 | khoảng 4,1 |
| Một lá cơ | 13 | khoảng 3,8 |
| Một lá đỏ | 26 | khoảng 1,96 |
Dòng đầu tiên dễ kiểm tra bằng trực giác: một lá cụ thể có thể ở bất kỳ vị trí nào từ 1 tới 52 với cơ hội như nhau, trung bình là 26,5. Dòng cuối cùng cũng vậy: lá đầu tiên đã có một nửa khả năng là lá đỏ, nên trung bình chỉ nhích hơn 1 một chút.
Nối sang bài toán rút bài trong bộ bài tự xây
Trong các thể loại xây bộ bài, câu hỏi "trung bình mấy lượt mới rút được lá chủ lực" chính là bài toán này. Bộ 30 lá có 3 lá chủ lực thì lá chủ lực đầu tiên trung bình ở vị trí 31 / 4 = 7,75. Nếu đầu ván bạn cầm 5 lá rồi đầu mỗi lượt rút thêm 1 lá, thì lượt một bạn đã thấy 6 lá, lượt hai 7 lá, lượt ba 8 lá: trung bình tới khoảng lượt thứ ba bạn mới cầm được nó, nhưng như ta đã thấy, phân tán rất rộng.
Cũng nên nhớ công thức chỉ đúng khi bộ bài được xáo đều và không có cơ chế đặc biệt như tìm lá hay đặt lá lên đầu. Có những cơ chế đó thì phải tính lại từ đầu, thường bằng mô phỏng.
Góc nhìn hôm nay: thí nghiệm năm phút
- Xáo kỹ bộ bài, lật từng lá, ghi lại vị trí của lá Át đầu tiên.
- Lặp lại 20 lần. Cộng 20 con số, chia 20.
- So với 10,6. Với 20 lần thử, kết quả thường rơi đâu đó trong khoảng 7 tới 14, vì độ lệch chuẩn của trung bình 20 lần là khoảng 8,2 chia căn 20, gần 1,8.
- Đếm xem bao nhiêu lần Át đầu tiên rơi ngay lá thứ nhất hoặc thứ hai. Kỳ vọng là khoảng 3 trong 20 lần.
Làm thí nghiệm này cùng trẻ lớn là cách rất tốt để thấy "trung bình" không có nghĩa là "thường xảy ra nhất". Ý tưởng chia khe trong bài này là một ví dụ của kỹ thuật dùng tính đối xứng, có trong các giáo trình xác suất nhập môn ở phần thống kê thứ tự.
Câu hỏi thường gặp
Trung bình lật bao nhiêu lá thì gặp lá Át đầu tiên?
Với bộ bài 52 lá xáo kỹ, trung bình là 10,6 lá, tính theo công thức (52 + 1) / (4 + 1). Trung vị là lá thứ 9, còn vị trí có xác suất cao nhất là ngay lá đầu tiên.
Công thức vị trí trung bình của lá đầu tiên là gì?
Bộ bài N lá có K lá đặc biệt thì vị trí trung bình của lá đặc biệt đầu tiên là (N + 1) / (K + 1). Lý do: K lá đặc biệt chia N − K lá thường thành K + 1 khe có độ dài trung bình bằng nhau.
Vì sao lá thứ nhất lại là vị trí có khả năng gặp Át cao nhất?
Vì muốn Át đầu tiên nằm ở vị trí càng xa thì càng nhiều lá phía trước phải không phải Át, điều kiện càng khắt khe nên xác suất càng giảm. Lá thứ nhất là Át với xác suất 4/52 ≈ 7,7%, cao nhất trong mọi vị trí.
Xác suất 10 lá đầu không có lá Át nào là bao nhiêu?
Khoảng 41,3%, tính bằng C(48, 10) chia C(52, 10). Với 20 lá đầu, xác suất không có Át nào vẫn còn khoảng 13,3%.
Lá Át cuối cùng trung bình nằm ở đâu?
Theo cùng lập luận chia khe, lá Át thứ tư trung bình nằm ở vị trí 4 × 53 / 5 = 42,4. Bốn lá Át trung bình nằm ở 10,6, 21,2, 31,8 và 42,4.
