Xáo bồ câu (riffle) chia bộ bài làm hai nửa rồi đan chúng vào nhau, còn xáo tay (overhand) rút từng nắm nhỏ từ trên xuống và chồng ngược lên nhau. Về mặt toán, xáo bồ câu trộn nhanh hơn rất nhiều: khoảng 7 lần đã gần ngẫu nhiên với 52 lá, trong khi xáo tay cần nhiều chục lần trở lên mới đạt mức tương đương. Lý do nằm ở chỗ mỗi lần xáo tay chỉ cắt bộ bài ở vài chỗ, còn xáo bồ câu chen mọi lá vào nhau cùng lúc.
Hai động tác, mô tả cho rõ
Xáo bồ câu
Cầm bộ bài, cắt làm hai phần gần bằng nhau, đặt hai phần đối mặt nhau rồi bẻ nhẹ để các lá lần lượt rơi xen kẽ. Cuối cùng uốn cong cả bộ thành hình vòm để các lá trượt về khít nhau, động tác này thường được gọi là "cầu" (bridge). Tiếng Anh gọi kiểu xáo này là riffle hoặc dovetail, chữ sau là tên mối ghép mộng đuôi én của thợ mộc, đúng hình ảnh hai nửa bài cài răng lược vào nhau.
Xáo tay
Cầm bộ bài dựng đứng trong một tay, tay kia dùng ngón cái kéo từng nắm vài lá từ phía trên xuống, thả lên lòng bàn tay, nắm sau chồng lên nắm trước. Hết bài là xong một lần. Đây là cách xáo phổ biến nhất ở Việt Nam vì dễ, không làm cong bài và làm được cả với bài nhựa mềm hay bài giấy mỏng.
Vì sao xáo bồ câu trộn nhanh
Hãy nhìn một lần xáo như một phép biến đổi thứ tự. Sau một lần bồ câu, các lá của nửa trên vẫn giữ nguyên thứ tự với nhau, các lá nửa dưới cũng vậy, nhưng hai nhóm bị chen vào nhau theo một cách tuỳ ý. Bộ bài sau một lần xáo có đúng 2 "chuỗi tăng" (đoạn lá giữ thứ tự cũ). Xáo lần nữa thì mỗi chuỗi lại bị tách đôi, số chuỗi tối đa nhân đôi: 2, 4, 8, 16, 32, 64. Đó là tốc độ hàm mũ. Bộ bài 52 lá chỉ cần khoảng 6 lần nhân đôi là đủ chỗ cho mọi thứ tự, và khoảng 7 lần là gần ngẫu nhiên theo phép tính của Bayer và Diaconis năm 1992.
Nói nôm na: mỗi lần xáo bồ câu, mọi lá đều có cơ hội đổi vị trí tương đối với gần một nửa số lá còn lại. Đó là lượng "trộn" rất lớn cho một động tác vài giây.
Vì sao xáo tay trộn chậm
Xáo tay làm một việc khác hẳn. Nếu mỗi lần bạn kéo khoảng 5 lá, bộ bài được cắt thành chừng 10 nắm, rồi thứ tự các nắm bị đảo ngược. Bên trong mỗi nắm, các lá vẫn dính nguyên như cũ. Hai lá vốn nằm cạnh nhau chỉ bị tách ra nếu đường cắt rơi đúng vào khe giữa chúng.
Có một hiệu ứng thứ hai ít người để ý: vì thứ tự các nắm bị đảo ngược, lá đang ở trên cùng gần như bị đưa xuống dưới đáy, rồi lần sau lại được đưa lên gần đầu. Bộ bài "lật qua lật lại" chứ không thật sự khuấy đều. Một lá trên cùng cần rất nhiều lần xáo mới thoát khỏi nhịp lắc qua lắc lại này.
Về lý thuyết, Robin Pemantle năm 1989 và sau đó Johan Jonasson năm 2006 đã phân tích mô hình xáo tay trong đó mỗi khe giữa hai lá có một xác suất cố định bị cắt. Kết luận là số lần xáo cần để trộn đều tăng theo cỡ n² × log n với n là số lá, so với cỡ log n của xáo bồ câu. Với bộ bài 52 lá, n² đã là 2 704: khoảng cách giữa hai kiểu xáo không phải vài lần mà là nhiều bậc độ lớn, dù con số cụ thể còn tuỳ cỡ nắm bài mỗi người kéo.
Một mô phỏng nhỏ bạn có thể tự lặp lại
Để thấy bằng số, có thể mô phỏng trên máy tính: bộ bài 52 lá đánh số từ trên xuống, xáo tay theo mô hình mỗi khe có 20% khả năng bị cắt (nắm trung bình 5 lá), xáo bồ câu theo mô hình Gilbert–Shannon–Reeds quen dùng, rồi hỏi: lá ban đầu ở trên cùng có còn nằm trong 13 lá trên cùng không? Với bộ bài ngẫu nhiên thật, câu trả lời là "có" với xác suất đúng 25%. Kết quả từ vài nghìn lần thử mỗi ô:
| Kiểu xáo | Số lần | Xác suất lá đầu còn ở phần tư trên |
|---|---|---|
| Bồ câu | 3 | khoảng 82% |
| Bồ câu | 5 | khoảng 43% |
| Bồ câu | 7 | khoảng 30% |
| Bồ câu | 8 trở lên | khoảng 24–27%, sát mức ngẫu nhiên |
| Xáo tay | 2 | khoảng 87% |
| Xáo tay | 10 | khoảng 51% |
| Xáo tay | 11 | khoảng 6%, bị đẩy hẳn xuống đáy |
| Xáo tay | 20 và 21 | khoảng 38% và 14% |
| Xáo tay | 40 và 41 | khoảng 26% và 22% |
| Xáo tay | 60 trở lên | khoảng 24%, sát mức ngẫu nhiên |
Hai điều đọc ra từ bảng. Thứ nhất, cùng một phép thử, xáo bồ câu cần khoảng 8 lần, xáo tay cần khoảng 40–60 lần: chậm hơn cỡ năm tới bảy lần ngay với bộ bài 52 lá, và theo lý thuyết khoảng cách còn doãng ra khi bộ bài lớn hơn. Thứ hai là nhịp chẵn lẻ của xáo tay: sau số lần chẵn, lá đầu bị kéo lên, sau số lẻ thì bị đẩy xuống. Đây mới chỉ là một phép thử thô trên một lá. Bộ bài thật sự ngẫu nhiên phải vượt qua mọi phép thử cùng lúc, nên con số cần thiết thật sự còn lớn hơn những gì bảng này gợi ý, với cả hai kiểu xáo.
Điều thú vị là nắm càng to, nhịp chẵn lẻ tắt càng nhanh: với nắm trung bình 10 lá, phép thử trên về gần 25% chỉ sau khoảng 10 lần xáo tay. Nhưng nắm to cũng có nghĩa là ít đường cắt hơn, nên những cặp lá vốn kề nhau sống sót lâu hơn. Xáo tay luôn phải đánh đổi giữa hai điểm yếu này.
Bảng so sánh nhanh
| Tiêu chí | Xáo bồ câu | Xáo tay |
|---|---|---|
| Số chỗ bị "cắt" mỗi lần | tới hàng chục chỗ đan xen | khoảng 5–15 chỗ cắt |
| Tốc độ trộn theo lý thuyết | cỡ log n lần | cỡ n² × log n lần |
| Đủ dùng cho 52 lá | khoảng 7 lần | nhiều chục lần trở lên, tuỳ cỡ nắm và phép đo |
| Hao bài | làm cong, mòn mép nếu bẻ mạnh | nhẹ nhàng, hợp bài cũ, bài mỏng |
| Dễ học | cần luyện vài hôm | làm được ngay |
| Hợp bộ bài nhỏ, dày | khó với bộ 15–20 lá hoặc lá cứng | dễ dàng |
Những cách xáo khác và cái bẫy của chúng
Chia đống
Một số người chia bài lần lượt ra 3, 4 hay 5 đống rồi gộp lại, tin rằng như vậy sẽ "trộn đều". Thực ra nếu luôn chia theo đúng một quy tắc cố định, chia đống là một phép hoán vị tất định: cùng bộ bài vào, cùng thứ tự ra. Làm lặp lại thì bộ bài quay về thứ tự cũ. Tự tính với 52 lá, chia vòng tròn ra từng đống úp chồng lên nhau rồi gộp đống thứ nhất lên trên: chia 4 đống thì sau 13 lần lặp bộ bài trở về y nguyên ban đầu; chia 3 đống thì sau 12 lần. Chia đống có ích để tách những lá dính nhau vì bài mới hay bị ẩm, nhưng tự nó không tạo ra ngẫu nhiên.
Xoa trên mặt bàn
Trải úp cả bộ ra bàn rồi dùng hai tay xoa vòng tròn, sau đó gom lại. Cách này hợp với bộ bài dày, lá cứng hoặc tay nhỏ, và nếu xoa đủ lâu, khắp mặt bàn, thì trộn tốt vì mọi lá đều di chuyển. Điểm yếu là khó biết thế nào là "đủ lâu".
Cắt bài
Cắt một lần (nhấc phần trên đặt xuống dưới) chỉ xoay vòng bộ bài, không đổi thứ tự tương đối của lá nào với lá nào. Cắt bao nhiêu lần cũng vậy. Nó hữu ích như một nghi thức để người khác cùng tham gia, không phải như một cách trộn.
Góc nhìn hôm nay: chọn cách xáo cho bộ bài của mình
- Bộ bài 52 lá bằng giấy tốt: xáo bồ câu 7 lần, xen giữa có thể cắt một lần cho đều tay. Không cần bẻ cầu quá mạnh.
- Bài sưu tầm có bọc nhựa hoặc lá dày: đừng bẻ bồ câu kiểu uốn cong, dễ gãy góc. Đặt hai nửa nằm trên bàn rồi đẩy xen vào nhau, hoặc xoa trên bàn, kèm vài lần xáo tay.
- Chỉ quen xáo tay: nắm to hơn một chút và xáo nhiều lần hơn bạn nghĩ, ít nhất vài chục lần cho bộ 52 lá. Xen thêm vài lần xoa bàn là cách bù rẻ nhất.
- Đừng tin chia đống: chia đống theo một kiểu cố định rồi gộp lại không tạo ra ngẫu nhiên.
Ai muốn đọc thêm về toán của từng kiểu xáo có thể tìm cuốn Magical Mathematics (2011) của Persi Diaconis và Ron Graham; còn bài báo của Bayer và Diaconis năm 1992 là điểm khởi đầu cho xáo bồ câu.
Câu hỏi thường gặp
Xáo bồ câu và xáo tay, cách nào trộn tốt hơn?
Xáo bồ câu trộn nhanh hơn nhiều. Với bộ 52 lá, khoảng 7 lần bồ câu là đủ cho hầu hết mục đích, còn xáo tay cần nhiều chục lần trở lên mới đạt mức tương đương, tuỳ cỡ nắm và cách đo.
Vì sao xáo tay lại trộn chậm?
Mỗi lần xáo tay chỉ cắt bộ bài ở vài chỗ, các lá trong cùng một nắm vẫn dính nguyên với nhau. Ngoài ra thứ tự các nắm bị đảo ngược, nên lá trên cùng cứ bị lắc từ đầu xuống đáy rồi lại lên đầu thay vì được trộn đều.
Chia bài ra nhiều đống có làm bộ bài ngẫu nhiên không?
Không. Chia theo một quy tắc cố định là một phép hoán vị tất định: lặp lại đủ số lần thì bộ bài trở về thứ tự cũ, ví dụ chia 4 đống thì 13 lần là quay về. Chia đống chỉ có ích để tách lá dính.
Cắt bài nhiều lần có trộn bài không?
Không. Cắt bài chỉ xoay vòng bộ bài, giữ nguyên thứ tự tương đối giữa các lá. Cắt bao nhiêu lần thì vẫn là một vòng tròn cũ được bắt đầu ở chỗ khác.
Bài sưu tầm có nên xáo bồ câu không?
Không nên uốn cong lá theo kiểu bồ câu với bài sưu tầm, bài có bọc nhựa hay lá dày, vì dễ gãy góc và cong vênh. Có thể đặt hai nửa trên bàn rồi đẩy xen vào nhau, xoa trên bàn hoặc xáo tay nhiều lần.
