52 giai thừa (viết 52!) là số cách xếp khác nhau của một bộ bài 52 lá, xấp xỉ 8,07 × 10^67, tức một con số có 68 chữ số. Số này lớn tới mức nếu bạn xáo thật kỹ một bộ bài, gần như chắc chắn thứ tự trong tay bạn chưa từng xuất hiện trong lịch sử loài người và sẽ không bao giờ lặp lại. Chữ "xáo kỹ" là điều kiện then chốt: xáo qua loa thì kết luận này không còn đúng.
52 giai thừa là gì và tính thế nào
Giai thừa của một số nguyên dương n là tích của mọi số từ 1 tới n. Ví dụ 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Vì sao giai thừa lại đếm được số cách xếp bài? Hãy tưởng tượng bạn đặt từng lá xuống bàn thành một hàng. Ô thứ nhất có 52 lá để chọn. Đặt xong, ô thứ hai còn 51 lá. Ô thứ ba còn 50. Cứ thế tới ô cuối cùng chỉ còn đúng một lá. Nhân các lựa chọn lại: 52 × 51 × 50 × … × 2 × 1, chính là 52!.
Viết đầy đủ, 52! bằng:
80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000
Có 12 chữ số 0 ở đuôi, vì trong tích có đủ thừa số 2 và 5 để ghép thành 12 thừa số 10 (các bội của 5 đóng góp 10 thừa số 5, riêng 25 và 50 đóng góp thêm 2).
Tự tính tay một bộ bài nhỏ
Muốn cảm được tốc độ tăng của giai thừa, lấy ba lá Át cơ, Át rô, Át bích. Các thứ tự có thể có là: cơ–rô–bích, cơ–bích–rô, rô–cơ–bích, rô–bích–cơ, bích–cơ–rô, bích–rô–cơ. Đúng 6 cách, bằng 3! = 6. Thêm Át chuồn, mỗi thứ tự cũ có 4 chỗ để chèn lá mới, nên ra 6 × 4 = 24 = 4!. Mỗi lá thêm vào nhân số cách xếp lên đúng bằng số lá hiện có. Đó là lý do con số phình ra nhanh hơn mọi hàm mũ quen thuộc.
| Số lá | Số cách xếp | Hình dung |
|---|---|---|
| 3 | 6 | liệt kê được trên đầu ngón tay |
| 5 | 120 | viết hết trên một trang giấy |
| 10 | 3 628 800 | khoảng 3,6 triệu |
| 13 (một chất) | 6 227 020 800 | khoảng 6,2 tỷ, gần bằng dân số thế giới |
| 20 | ≈ 2,43 × 10^18 | hơn 2 tỷ tỷ |
| 26 (nửa bộ) | ≈ 4,03 × 10^26 | số có 27 chữ số |
| 40 | ≈ 8,16 × 10^47 | số có 48 chữ số |
| 52 | ≈ 8,07 × 10^67 | số có 68 chữ số |
Để ý: chỉ riêng 13 lá của một chất đã có hơn 6 tỷ cách xếp. Nửa bộ bài cho con số 27 chữ số. Cả bộ thì vượt xa mọi thứ đếm được trong đời sống.
Lớn cỡ nào: những phép so sánh kiểm tra được
Các so sánh kiểu "nhiều hơn số nguyên tử trên Trái Đất" khá phổ biến, và thực tế đúng: ước lượng thường gặp cho số nguyên tử của Trái Đất nằm quanh 10^50, kém 52! gần 10^18 lần. Nhưng so sánh dễ kiểm tra hơn là tự làm phép tính với thời gian.
- Vũ trụ khoảng 13,8 tỷ năm tuổi, tức chừng 4,35 × 10^17 giây.
- Giả sử 8 tỷ người, ai cũng xáo một bộ bài mỗi giây, liên tục từ lúc vũ trụ ra đời tới nay. Tổng số lần xáo là khoảng 3,5 × 10^27.
- Con số đó chỉ bằng khoảng 4 × 10^−41 phần của 52!. Nghĩa là toàn bộ cuộc xáo bài tưởng tượng ấy mới chạm vào một phần nhỏ đến mức không viết nổi bằng phần trăm của mọi thứ tự có thể có.
- Một máy tính liệt kê một nghìn tỷ thứ tự mỗi giây sẽ cần khoảng 2,6 × 10^48 năm để đi hết danh sách.
Vì sao xáo kỹ gần như chắc chắn ra thứ tự mới
Câu hỏi đúng không phải "thứ tự này có từng xuất hiện chưa" mà là "trong mọi lần xáo kỹ từ trước tới nay, có hai lần nào trùng nhau không". Đây chính là bài toán ngày sinh: trong một nhóm 23 người, xác suất có hai người trùng ngày sinh đã vượt 50%, vì số cặp tăng nhanh hơn số người. Bộ bài cũng thế, nhưng không gian thì lớn khủng khiếp.
Với N lần xáo ngẫu nhiên đều, xác suất có ít nhất một cặp trùng xấp xỉ N² chia cho (2 × 52!). Lấy lại con số tưởng tượng N ≈ 3,5 × 10^27 ở trên, xác suất trùng chỉ khoảng 7,5 × 10^−14, tức chưa tới một phần mười nghìn tỷ. Mà con số N ấy đã phóng đại rất xa số lần người ta thật sự xáo bài suốt mấy thế kỷ qua.
Nói gọn: nếu mỗi lần xáo đều thật sự ngẫu nhiên, thì việc hai lần trùng nhau không bị cấm, chỉ là hiếm tới mức không đáng để tính tới.
Cái bẫy: "xáo kỹ" không tự nhiên mà có
Lập luận ở trên dựa hoàn toàn vào giả thiết mỗi thứ tự có cơ hội như nhau. Thực tế, bộ bài mới mở hộp thường được xếp theo trật tự nhà sản xuất: từng chất, từ Át tới K. Nếu bạn chỉ xáo một hai lần, kết quả vẫn mang dấu vết rõ của trật tự cũ, và hai người cùng xáo qua loa hai bộ bài mới hoàn toàn có thể ra những thứ tự giống nhau ở nhiều đoạn.
Một cách hình dung: sau một lần xáo bồ câu (chia đôi rồi cho hai nửa đan vào nhau), bộ bài chỉ có thể rơi vào một phần rất nhỏ của 52! thứ tự. Số thứ tự đạt được sau một lần xáo như thế là 2^52 − 52, khoảng 4,5 × 10^15, nhỏ hơn 52! tới khoảng 10^52 lần. Phải lặp lại nhiều lần, các thứ tự mới lan ra phủ được toàn bộ không gian. Các bài khác trong danh mục này nói kỹ chuyện xáo bao nhiêu lần là đủ và kiểu xáo nào trộn nhanh hơn.
Ba tình huống không còn đúng "chưa từng có"
- Bộ bài mới, xáo một hai lần: thứ tự bị kéo về gần trật tự nhà máy.
- Bộ bài sắp lại sau mỗi ván theo thói quen: người chơi gom bài theo chất, theo bộ, rồi xáo ít, thứ tự lần sau dính chặt lần trước.
- Bộ bài trong máy tính dùng bộ sinh số kém: nếu chương trình chỉ có 2^32 (khoảng 4,3 tỷ) "hạt giống" khả dĩ, nó chỉ đạt được tối đa 4,3 tỷ thứ tự, một phần cực nhỏ của 52!. Bài về số ngẫu nhiên giả trong danh mục giải thích kỹ.
Đếm bằng logarit: 52! cần bao nhiêu thông tin
Một cách nhìn khác là hỏi: muốn ghi lại một thứ tự bài cụ thể, cần bao nhiêu chữ số nhị phân (bit)? Câu trả lời là log₂(52!) ≈ 225,6. Tức cần ít nhất 226 bit, khoảng 29 byte, để phân biệt mọi thứ tự. Con số này có ích ngoài đời: nó cho biết một bộ sinh số ngẫu nhiên phải có trạng thái bên trong lớn hơn 226 bit thì mới có khả năng sinh ra mọi thứ tự bài.
Muốn ước lượng giai thừa mà không nhân 52 lần, người ta dùng công thức Stirling: n! xấp xỉ căn bậc hai của (2πn) nhân với (n/e) mũ n. Thay n = 52, công thức cho khoảng 8,05 × 10^67, sai so với giá trị thật chưa tới 0,2%. Công thức này mang tên James Stirling, người công bố nó vào thế kỷ 18, và cho tới nay vẫn là cách nhanh nhất để đoán cỡ của một giai thừa lớn.
Giai thừa và những bộ bài nhỏ hơn
Không phải bộ bài nào cũng có 52 lá. Baraja Tây Ban Nha có 40 lá, bộ bài Đức kiểu Skat có 32 lá, còn bộ bài trong các ứng dụng xây bộ bài thường chỉ có từ 10 tới 30 lá ở đầu ván. Giai thừa vẫn áp dụng y nguyên, chỉ thay số:
- 32 lá: 32! ≈ 2,63 × 10^35.
- 40 lá: 40! ≈ 8,16 × 10^47.
- Bộ bài khởi đầu 10 lá: 10! = 3 628 800 thứ tự, nhưng nếu trong đó có 5 lá giống hệt nhau và 5 lá giống hệt nhau khác, số thứ tự phân biệt được chỉ còn 10! chia cho (5! × 5!) = 252.
Ý cuối rất quan trọng khi bộ bài có lá trùng: giai thừa đếm cách xếp các lá phân biệt. Có lá giống nhau thì phải chia bớt, vì đổi chỗ hai lá giống nhau không tạo ra thứ tự mới. Đây là hệ số đa thức quen thuộc trong tổ hợp.
Góc nhìn hôm nay: tự làm và đọc thêm
Có ba việc nhỏ giúp con số 52! thôi trừu tượng:
- Đếm tay bộ 4 lá. Lấy bốn lá Át, liệt kê đủ 24 thứ tự trên giấy. Bạn sẽ thấy cần một quy tắc liệt kê (cố định lá đầu, hoán đổi phần sau) thì mới không sót.
- Mở một bộ bài mới, xáo bồ câu một lần rồi lật ngửa trải ra. Bạn sẽ thấy các đoạn A–2–3–4 của cùng một chất vẫn nằm theo thứ tự, chỉ bị đan với một đoạn khác. Đó là bằng chứng bằng mắt rằng một lần xáo chưa đủ.
- Tính log₁₀(n!) bằng máy tính bỏ túi: cộng log₁₀ của 1 tới n. Với n = 52, tổng là khoảng 67,9, đúng bằng số mũ của 10 trong 52!.
Sách nên đọc: Magical Mathematics (2011) của Persi Diaconis và Ron Graham, hai nhà toán học từng làm ảo thuật, kể nhiều chuyện về toán của bộ bài bằng giọng dễ nghe. Phần lý thuyết về bài toán ngày sinh và hoán vị có trong bất kỳ giáo trình tổ hợp nhập môn nào.
Câu hỏi thường gặp
52 giai thừa bằng bao nhiêu?
52! bằng khoảng 8,07 × 10^67, viết đầy đủ là một số có 68 chữ số bắt đầu bằng 80 658 175 170… và kết thúc bằng 12 chữ số 0. Đó là số cách xếp khác nhau của một bộ bài 52 lá phân biệt.
Có khi nào hai lần xáo bài ra cùng một thứ tự không?
Về lý thuyết có thể, nhưng nếu mỗi lần xáo thật sự ngẫu nhiên thì xác suất cực nhỏ. Ngay cả khi 8 tỷ người xáo mỗi giây từ thuở vũ trụ ra đời, xác suất có hai lần trùng nhau vẫn chưa tới một phần mười nghìn tỷ. Với bộ bài mới chỉ xáo qua loa thì khác, trùng đoạn là chuyện bình thường.
52! có lớn hơn số nguyên tử trên Trái Đất không?
Có. Các ước lượng phổ biến cho số nguyên tử của Trái Đất nằm quanh 10^50, còn 52! cỡ 10^68, lớn hơn hàng trăm triệu tỷ lần. Tuy vậy 52! vẫn nhỏ hơn ước lượng số nguyên tử của cả vũ trụ quan sát được, thường cho là cỡ 10^80.
Vì sao số cách xếp bài lại là giai thừa?
Vì khi đặt từng lá vào hàng, vị trí đầu có 52 lựa chọn, vị trí thứ hai còn 51, và cứ giảm dần tới 1. Nhân các lựa chọn liên tiếp đó lại được 52 × 51 × … × 1, đúng định nghĩa của 52!.
Bộ bài có lá trùng nhau thì đếm thế nào?
Lấy giai thừa của tổng số lá rồi chia cho giai thừa số lá của từng nhóm giống hệt nhau. Ví dụ 10 lá gồm 5 lá loại A và 5 lá loại B chỉ có 10! / (5! × 5!) = 252 thứ tự phân biệt.
