Phân phối siêu bội là công thức tính xác suất rút được đúng bao nhiêu lá "cần" khi rút một số lá từ bộ bài mà không bỏ lại. Với bộ bài N lá có K lá cần, rút n lá, xác suất không có lá cần nào bằng tổ hợp chập n của (N − K) chia cho tổ hợp chập n của N; lấy 1 trừ đi số đó là xác suất rút được ít nhất một lá. Ví dụ bộ 40 lá có 4 bản của một lá quan trọng, rút 7 lá đầu: khoảng 55% có ít nhất một bản.
Bài toán quen thuộc của người xây bộ bài
Ai từng xây bộ bài trong các ứng dụng đấu bài hay bài chiến thuật trên bàn đều gặp câu hỏi: "Bỏ mấy bản lá này vào thì lượt đầu có khả năng cầm được nó?" Hoặc với bộ bài tây quen thuộc: "Rút 5 lá từ bộ 52, khả năng có ít nhất một lá Át là bao nhiêu?" Cả hai là cùng một bài toán, và câu trả lời đúng là phân phối siêu bội.
Chữ "siêu bội" là dịch từ hypergeometric, cái tên đến từ việc các xác suất này liên quan tới chuỗi siêu bội trong giải tích. Tên nghe nặng nề, nhưng bản chất chỉ là đếm tổ hợp.
Công thức, nói bằng lời
Ký hiệu C(a, b) là số cách chọn b vật từ a vật, không kể thứ tự. Ví dụ C(5, 2) = 10. Bộ bài có N lá, trong đó K lá "cần", còn N − K lá "khác". Rút n lá. Xác suất trong n lá đó có đúng x lá cần là:
P(đúng x lá cần) = C(K, x) × C(N − K, n − x) chia cho C(N, n)
Đọc như sau: mẫu số là tổng số cách rút n lá bất kỳ. Tử số là số cách chọn x lá trong nhóm lá cần, nhân với số cách chọn các lá còn lại trong nhóm lá khác. Mọi tập n lá có cơ hội như nhau nếu bộ bài được xáo kỹ, nên tỉ lệ đếm chính là xác suất.
Trường hợp hay dùng nhất là x = 0: không rút được lá cần nào. Khi đó tử số chỉ còn C(N − K, n). Xác suất "có ít nhất một" là 1 trừ đi số đó.
Ví dụ tính tay trọn vẹn
Bộ bài 20 lá, có 3 lá cần, rút 5 lá. Xác suất không có lá cần nào:
- C(17, 5) = 6 188 cách rút 5 lá toàn lá khác.
- C(20, 5) = 15 504 cách rút 5 lá bất kỳ.
- 6 188 / 15 504 ≈ 0,399.
Vậy xác suất có ít nhất một lá cần là khoảng 1 − 0,399 = 0,601, tức hơn 60%. Có một cách tính khác không cần tổ hợp, dễ bấm máy hơn: rút lần lượt, xác suất lá thứ nhất không phải lá cần là 17/20, lá thứ hai là 16/19, rồi 15/18, 14/17, 13/16. Nhân lại: 17 × 16 × 15 × 14 × 13 chia cho 20 × 19 × 18 × 17 × 16, ra đúng 0,399.
Vì sao không dùng phân phối nhị thức
Nhiều người quen tính kiểu "mỗi lá có xác suất K/N là lá cần, rút n lá độc lập", tức phân phối nhị thức. Cách này đúng khi rút xong bỏ lại lá vào bộ và xáo lại, như tung xúc xắc. Bộ bài thì không như vậy: rút ra lá nào là bộ bài vơi đi lá đó, và mỗi lá khác được rút ra lại làm tăng tỉ lệ lá cần trong phần còn lại.
So sánh với bộ 40 lá, 4 lá cần, rút 7: nhị thức cho xác suất không có lá cần nào là 0,9^7 ≈ 47,8%. Siêu bội cho 44,8%. Chênh 3 điểm phần trăm. Bộ bài càng nhỏ và rút càng nhiều thì chênh càng lớn, nên với các bộ bài gọn 20–30 lá, dùng nhị thức là sai rõ rệt.
Bảng tra: xác suất có ít nhất một lá cần
Bảng sau tính sẵn cho những cỡ bộ bài thường gặp trong các thể loại xây bộ bài, với số bản lá cần từ 1 tới 4, rút 5, 7 hoặc 10 lá:
| Cỡ bộ bài | Số bản | Rút 5 lá | Rút 7 lá | Rút 10 lá |
|---|---|---|---|---|
| 20 lá | 1 | 25,0% | 35,0% | 50,0% |
| 20 lá | 2 | 44,7% | 58,9% | 76,3% |
| 20 lá | 3 | 60,1% | 74,9% | 89,5% |
| 20 lá | 4 | 71,8% | 85,2% | 95,7% |
| 40 lá | 1 | 12,5% | 17,5% | 25,0% |
| 40 lá | 2 | 23,7% | 32,3% | 44,2% |
| 40 lá | 3 | 33,8% | 44,8% | 58,9% |
| 40 lá | 4 | 42,7% | 55,2% | 70,0% |
| 60 lá | 1 | 8,3% | 11,7% | 16,7% |
| 60 lá | 2 | 16,1% | 22,1% | 30,8% |
| 60 lá | 3 | 23,3% | 31,5% | 42,7% |
| 60 lá | 4 | 30,1% | 39,9% | 52,8% |
Hai điều đọc ra ngay. Với chỉ một bản, xác suất bằng đúng n/N: rút 7 trong 40 thì 17,5%, vì lá đó nằm ở bất kỳ vị trí nào cũng như nhau. Và cùng 4 bản, bộ 20 lá cho cơ hội rút 7 lá là 85%, còn bộ 60 lá chỉ 40%. Đây là lý do toán học của lời khuyên "bộ bài gọn thì ổn định hơn": mỗi lá có mặt đậm hơn trong bộ.
Phân phối đầy đủ và kỳ vọng
Không chỉ "ít nhất một", công thức cho biết cả xác suất từng số lượng. Bộ 40 lá, 4 bản, rút 7:
- 0 bản: khoảng 44,8%
- 1 bản: khoảng 41,8%
- 2 bản: khoảng 12,1%
- 3 bản: khoảng 1,3%
- Cả 4 bản: khoảng 0,04%, tức chừng 1 lần trong 2 600 lần
Số bản trung bình rút được là n × K / N = 7 × 4 / 40 = 0,7. Công thức kỳ vọng này giống hệt nhị thức, cái khác nằm ở độ phân tán: siêu bội tập trung quanh trung bình hơn, vì rút không bỏ lại làm các lần rút "tự điều chỉnh" lẫn nhau.
Cần cả hai lá cùng lúc
Thường người ta cần một cặp lá đi với nhau, mỗi loại 4 bản trong bộ 40, rút 7. Dùng phép bao hàm – loại trừ: xác suất có ít nhất một bản mỗi loại bằng 1, trừ xác suất thiếu loại thứ nhất, trừ xác suất thiếu loại thứ hai, cộng lại xác suất thiếu cả hai. Tính ra khoảng 28,5%. Chỉ hơn một phần tư: đây là lý do những bộ bài dựa vào một cặp lá duy nhất thường rất thất thường.
Ví dụ với bộ bài tây 52 lá
- Rút 5 lá, có ít nhất một lá Át: 1 − C(48, 5) / C(52, 5) ≈ 34,1%.
- Rút 5 lá, có đúng hai lá Át: C(4, 2) × C(48, 3) / C(52, 5) ≈ 4,0%.
- Rút 5 lá, có ít nhất một lá cơ: 1 − C(39, 5) / C(52, 5) ≈ 77,8%.
Những con số này dùng được cho các ván bài gia đình, các phép thử xác suất trong lớp học hay đơn giản là để đoán cho vui trước khi lật bài.
Góc nhìn hôm nay: dùng công thức để xây bộ bài
Cách người thiết kế bộ bài thường làm là đặt mục tiêu ngược: "Tôi muốn khoảng 90% có lá này trong 10 lá đầu, bộ của tôi 40 lá, cần mấy bản?" Tính lần lượt: 6 bản cho 84,5%, 7 bản cho 89,1%, 8 bản cho 92,4%. Nếu luật chỉ cho tối đa 4 bản một lá, bạn phải thêm những lá khác làm cùng việc, hoặc thu nhỏ bộ bài.
- Liệt kê những lá mà thiếu thì bộ bài "chết đứng".
- Gom các lá làm cùng chức năng thành một nhóm K.
- Tra bảng hoặc tính 1 − C(N − K, n) / C(N, n) cho số lá bạn thường thấy vào lượt quan trọng.
- Nếu chưa đủ, tăng K hoặc giảm N trước khi nghĩ tới chuyện khác.
Ai muốn kiểm tay có thể dùng hàm HYPGEOM.DIST trong các bảng tính phổ biến, hoặc viết một dòng lệnh với hàm tổ hợp của bất kỳ ngôn ngữ lập trình nào.
Câu hỏi thường gặp
Phân phối siêu bội là gì?
Là phân phối xác suất của số phần tử "được đánh dấu" khi rút một số phần tử từ một tập hữu hạn mà không bỏ lại. Bộ bài là ví dụ điển hình: rút lá nào thì bộ bài vơi đi lá đó.
Cách tính xác suất rút được ít nhất một lá trong bộ bài?
Lấy 1 trừ xác suất không rút được lá nào. Xác suất không rút được bằng C(N − K, n) / C(N, n), với N là số lá cả bộ, K là số lá cần, n là số lá rút. Ví dụ 40 lá, 4 bản, rút 7 ra khoảng 55%.
Phân phối siêu bội khác nhị thức thế nào?
Nhị thức dùng khi mỗi lần thử độc lập, như rút xong bỏ lại rồi xáo. Siêu bội dùng khi rút không bỏ lại. Với bộ bài nhỏ, dùng nhị thức sẽ sai rõ rệt, thường đánh giá thấp khả năng rút được lá cần.
Bộ bài 40 lá nên để mấy bản một lá?
Tuỳ bạn cần lá đó sớm tới đâu. Với 4 bản trong 40 lá, khả năng có ít nhất một bản trong 7 lá đầu khoảng 55%, trong 10 lá đầu khoảng 70%. Muốn 90% trong 10 lá đầu cần khoảng 7 lá cùng chức năng.
Rút 5 lá từ bộ bài 52 lá, xác suất có lá Át là bao nhiêu?
Khoảng 34,1% có ít nhất một lá Át. Xác suất có đúng hai lá Át là khoảng 4%.
